Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ельцов А.А - 150 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

. . . . А А Ельцов Интегральное исчисление Дифференциальные уравнения
150
0
0
1
( )
exp .
( )
x
x
a x
y C dx
a x
(5.11)
, Заметим что выбор точки x
0
-влияет лишь на вид конкрет
ной первообразной функции
0
1
( )
( )
a x
a x
.
-Будем искать решение линейного неоднородного дифферен
(5.9) циального уравнения методом Лагранжа , или что то же
, самое методом вариации произвольной постоянной.
, -Суть метода заключается в том что мы пытаемся найти ре
(5.9) (5.11), -шение уравнения в виде в котором вместо констан
ты C подставлена функция C(x), то есть в виде
0
0
1
( )
( )
x
x
a x
y C x dx
a x
(5.12)
(5.12) (5.9), Подставив решение в получаем
0
0
1 1
( )
( )
( ) exp
( ) ( )
x
x
a x
b x
C x dx
a x a x
.
, Интегрируя последнее имеем
0 0
0
1
1 1
( )
( )
( ) exp ,
( ) ( )
x x
x x
a t
b x
C x dt dx C
a x a t
где C
1
— . некоторая новая константа Подставляя полученное
выражение для C(x) (5.12), в окончательно получаем общее
решение исходного линейного уравнения
0 0 0
0 0
1
1 1 1
( ) ( )
( )
( ) exp exp
( ) ( ) ( )
x x x
x x x
a t a x
b x
y x dt dx C dx
a x a t a x
.
П р 1. имер Решить уравнение
2 4
y y x
. -Рассмотрим соответ
ствующее однородное уравнение
2 0
y y
. , (Решая его получаем при
0
0
x
)
2
x
y Ce
. Ищем теперь решение исходного уравнения в виде
2
( )
x
y C x e
. Подставляя y и
2 2
( ) 2 ( )
x x
y C x e C x e
в исходное
, уравнение имеем
2
( ) 4 ,
x
C x xe
откуда
2 2
1
( ) 2
x x
C x xe e C
, ,и
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы