Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ельцов А.А - 151 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

151
5. Дифференциальные уравнения
подставляя полученное выражение C(x) в y(x), -получаем общее ре
ш ение исходного уравнения
2 2 2 2
1 1
( ) (2 ) 2 1
x x x x
y x xe e C e x C e
.
П р и м е р 2. Решить уравнение
2 6
y xy x
. -Рассмотрим соот
ветствующее однородное уравнение
2 0
y xy
. , -Решая его полу
чаем 2
x dx
y
,
2
ln ln
y x C
,
2
x
y Ce
. -Ищем теперь реше
ние исходного уравнения в виде
2
( )
x
y C x e
. Подставляя y и
2 2
( ) 2 ( )
x x
y C x e xC x e
, в исходное уравнение имеем
2
( ) 6 ,
x
C x xe
откуда
2
1
( ) 3
x
C x e C
, и
2
1
( ) 3
x
y x C e
— обще е решение исходного
.уравнения
П р и м е р 3. Решить уравнение
7
5
x
y y e
. -Рассмотрим соот
ветствующее однородное уравнение
5 0
y y
. Ре , шая его получаем
5
dy
dx
y
,
ln 5 ln
y x C
,
5
x
y Ce
. -Ищем теперь решение ис
ходного уравнения в виде
5
( )
x
y C x e
. Подставляя y и
5
( )
x
y C x e
5
5 ( )
x
C x e
, в исходное у равн ен ие имее м
12
( ) ,
x
C x e
о ткуда
12
1
1
( )
12
x
C x e C
, и
7 5
1
1
( )
12
x x
y x e C e
— -общее решение исходно
.го уравнения
П р и м е р 4. Решить уравнение
3
(4 )
y
e x dy dx
. , Вспоминая что
переменные x и y в диффер , енциальном уравнении равноправны и
переписывая его в виде
3
4
y
dx
e x
dy
, , или что то же самое в форме
3
4
y
x x e
, , -получим что данное уравнение является линейным отно
сительно x и x. Рассмотрим соответствующее однородное уравнение
0
x x
. Ре , шая его получаем
dy
x
,
ln ln
x y C
,
y
x Ce
.
Ищем теперь решение уравнения
3
4
y
x x e
в виде
( )
y
x C y e
. -Под
ставляя x и
( ) ( )
y y
x C y e C x e
, в него имеем
4
( ) 4 ,
y
C y e
откуда
4
1
( )
y
C y e C
, и
3
1
( )
y y
y x e C e
— -общее решение исходного урав
.нения
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы