Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ельцов А.А - 153 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

153
5. Дифференциальные уравнения
2
3
( )
x
C x x e
, о ткуда
2
3
( )
x
C x x e dx
. Интегрируя по частям с
2 2
, exp( )
U x dV x x dx
, имеем
2 2
2
1 1
( )
2 2
x x
C x x e e C
.
Поэтому
2
2
1
1 1
( )
2 2
x
z x x C e
, откуда
2
2 2
1
1 1
2 2
x
y x C e
, или что
, то же самое
2
2
1
1 1
2 2
x
y x C e
.
5.3. Задание :Решить уравнения
1)
5
3 2
x
y y e
; 2)
tg sin
y y x x
; 3)
2 2 3 2
y y x y x
.
Ответы: 1)
5 3
x x
y e Ce
; 2)
cos ln cos cos
y x x C x
;
3)
3
3
1
x
y Ce
.
5.1.7. Уравнения в полных дифференциалах
Рассмотрим дифференциальное уравнение
( , ) ( , ) 0
M x y dx N x y dy
. (5.15)
Если существует функция u(x,y) , такая что
( , ) ( , ) ( , )
du x y M x y dx N x y dy
,
(5.15) -то уравнение называется уравнением в полных диффе
.ренциалах
В этом случае его можно записать в виде
( , ) 0
du x y
. Тогда
( , )
u x y C
. Если разрешить послед -нее соотношение относитель
но y, (5.15).то получим общее решение уравнения
П р и м е р 1. Диффере нциальное уравнение
0
xdy ydx
-явля
, ется уравнением в полных дифференциалах так как ( )
d xy xdy
ydx
. Поэтому
xy C
.есть общее решение этого уравнения
П р и м е р 2. Аналогично для уравнения
2
2 0
xydx x dy
-выра
жение
2
x y C
, -есть общее решение так как левая часть этого уравне
ния является дифференциалом функции
2
( , ) .
u x y x y
, -Как видим уравнения в полных дифференциалах легко ре
, , -шаются если знать функцию дифференциалом которой являет
.ся левая часть уравнения
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы