Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ельцов А.А - 154 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

. . . . А А Ельцов Интегральное исчисление Дифференциальные уравнения
154
(Вспоминая определение потенциальности поля M,N)
T
,
.получаем справедливость следующей теоремы
5.3.Теорема (5.15) Уравнение есть уравнение в полных
, (дифференциалах тогда и только тогда когда поле M,N)
T
, , -потенциально или что то же самое криволинейный ин
теграл
( , ) ( , )
L
M x y dx N x y dy
-не зависит от пути интег
.рирования
.Следствие Если существуют непрерывные производные
, ,
M N
y x
(5.15) -то уравнение есть уравнение в полных диффе
, ренциалах тогда и только тогда когда
.
M N
y x
, -Следствие даёт возможность выяснить является ли уравне
. ние уравнением в полных дифференциалах или нет Теорема
5.3 -позволяет найти решение уравнения в случае положитель
.ного ответа на предыдущий вопрос
П р и м е р 1. Найти общее реш ение уравнен ия
2
xy dx
2 2
( ) 0
x y dy
. Так как
( , )
(2 ) 2 ,
M x y
xy x
y y
( , )
N x y
x
2 2
( ) 2
x y x
x
, -то данное уравнение является уравнением в пол
. , (ных дифференциалах Поэтому восстанавливая потенциал подробнее
. 4.5 1 2), о восстановлении потенциала смотри п примеры и получаем
3 3
2 2 2 2
0 0
0
( , ) (2 0) ( ) .
3 3
y
y
x
y y
u x y x dx x y dy x y x y
( ) Тогда общий интеграл общее решение имеет вид
3
2
.
3
y
x y C
П р и м е р 2. Уравнение
(2 ) 0
y y
e dx y xe dy
также является
, уравнением в полных дифференциалах так как
( , )
( ) ,
y y
M x y
e e
y y
( , )
( 2 ) .
y y
N x y
y xe e
x x
, , Поэтому восстанавливая потенциал имеем
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы