Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ельцов А.А - 156 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

. . . . А А Ельцов Интегральное исчисление Дифференциальные уравнения
156
, ,или что то же самое
0
0
( ) ( , ( ))
x
x
y x y f x y x dx
. (5.16)
, , Таким образом мы показали что всякое решение задачи Коши
(5.3), (5.7) (5.16). есть решение интегрального уравнения С
, другой стороны если y(x) — -дифференцируемое решение интег
(5.16), , (5.16) рального уравнения то дифференцируя по x, -полу
, чаем что y(x) — (5.3), (5.7).решение задачи Коши
(5.16) -Решение интегрального уравнения будем искать с по
. мощью метода последовательных приближений Положим
y
0
(x) y
0
,
0
1 0
( ) ( , ( ))
x
n n
x
y x y f x y x dx
. (5.17)
Оператор
:
A M M
, отображающий метрическое
M , пространство в себя называют сжимающим [12], если
( , ) ( , )
Ax Ax x x
, где — расстояние в M,
0 1
.
, Сжимающие операторы имеют неподвижную точку то есть
, точку которая оператором A . -переводится в себя Если линей
ное уравнение удаётся записать в виде x Ax, -в котором опера
тор A — , сжимающий то решение этого линейного уравнения
можно найти с помощью последовательных приближений
1
n n
x Ax
, которые сходятся к решению уравнения x Ax.
, Таким образом если оператор
0
0
( ) ( ) ( , ( ))
x
x
Ay x y f x y x dx
(5.18)
— [12], (5.17)сжимающий то последовательные приближения
(5.16), -сходятся к решению интегрального уравнения а следова
, тельно и дифференциального уравнения
( , )
y f x y
, -удовлетво
ряющему условию
0 0
( )
y x y
. Же лающие могут познакомиться
(5.18) [12] с доказательством сжимаемости оператора в или в
.приложении
П р и м е . -р Найдём с помощью метода последовательных прибли
жений решение уравнения
y y
, удовлетворяющее условию
(0) 1
y
.
Подставляя
(0) 1
y
(5.17), в получаем
0
1,
y
1
0
1 1 1 ,
x
y dx x
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы