Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ельцов А.А - 157 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

157
5. Дифференциальные уравнения
2
2
0
1 (1 ) 1 ,
2
x
x
y x dx x
…,
2
1 ... .
2 ! !
n
x x
y x
n
, , С другой стороны решая исходную задачу Коши имеем y e
x
.
, Таким образом нами получено разложение функции e
x
в ряд
( ).Тейлора в нуле ряд Маклорена
Перейдём теперь к изложению численного метода Эйлера
(5.3), (5.7). [решения задачи Коши Разобьём отрезок a,b], на
, котором мы ищем решение на части точками
0 1
...
x a x
...
n
x b
. Положим
( ), 0 ,
i i
y y x i n
1
,
i i i
h x x
0 1
i n
.
Так как по определению производной
1
0
( ) ( )
( ) lim ,
i
i i
i
h
i
y x y x
y x
h
, то за меняя произв одную
( )
i
y x
кон ечной разность ю
1 1
( ) ( )
i i i i
i i
y x y x y y
h h
(5.3), в уравнении получаем
1i i
i
y y
h
( , )
i i
f x y
, ,или что то же самое
1
( , )
i i i i i
y y h f x y
. (5.19)
(5.19) Соотношение является расчётной формулой метода
(5.3), (5.7). -Эйлера численного решения задачи Коши Вычис
лив
, 0,1,..., ,
i
y i n
-получим таблицу значений решения в точ
ках
, 0,1,...,
i
x i n
. Д ля оценки погрешности на одном шаге
сетки в методе Эйлера разложим точное решение y(x) -по фор
муле Тейлора в окрестности точки
i
x
-до членов второго поряд
ка малости
2 2
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( )
i i i i i i i
y x y x h y x y x h O h y hf x y O h
.
(5.19), , (5.19)Сравнивая с видим что погрешность формулы
на одном шаге равна
2
( )
O h
. , -К сожалению метод Эйлера накап
. -ливает ошибку от шага к шагу Поэтому на практике пользу
, ются либо модификациями метода Эйлера например методом
[14], , прогноза и коррекции либо другими методами в частности
- [14].методом Рунге Кутта
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы