Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ельцов А.А - 159 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

159
5. Дифференциальные уравнения
5.4 ( Теорема существования и единственности решения
).задачи Коши Если функция
1 2
( , , , , )
n
f x z z z
K непрерывна
по совокупности переменных и удовлетворяет условиям
Липшица по переменным
1 2
, ,...,
n
z z z
, -то найдётся окрест
ность точки x
0
, в которой решен (5.20), -ие уравнения удов
(5.21), -летворяющее начальным условиям существу
.ет и единственно
Множество D назовём выпуклым по
1 2
, ,...,
n
z z z
, -если для вся
ких двух точек
1 1 1 2 2 2
1 2 1 2
( , , ,..., ), ( , , ,..., )
x z z z x z z z
из D -этому мно
, , жеству принадлежат и точки отрезка их соединяющего то есть
точки вида
1 2
( , , ,..., )
n
x z z z
, где
i
z
— , числа лежащие между
1
i
z
и
2
i
z
,
1,2,...,
i n
.
, Отметим что если непрерывная на множестве D функция
1 2
( , , , , )
n
f x z z z
K -имеет там же непрерывные частные произ
водные
i
f
z
, множество D — , ограничено замкнуто и выпукло
по
1 2
, ,...,
n
z z z
, то эта функция удовлетворяет на множестве D
условию Липшица по
1 2
, ,...,
n
z z z
. , Действительно по теореме
Лагранжа о конечных приращениях можем записать
1 1 1 2 2 2
1 2 1 2
( , , ,..., ) ( , , ,..., )
n n
f x z z z f x z z z
1 2
1 2
1
( , , ,..., )
n
n
i i
i
i
f x z z z
z z
z
1 2
1 2
1
( , , ,..., )
n
n
i i
i
i
f x z z z
z z
z
1 2
1 2
1 2
1 ( , , ,..., )
1
( , , ,..., )
max max
n
n
n
i i
i n x z z z D
i
i
f x z z z
z z
z
1 2
1 2
1 2
1 ( , , ,..., )
1
( , , ,..., )
max max
n
n
n
i i
i n x z z z D
i
i
f x z z z
z z
z
.
-Поэтому в теореме существования и единственности для урав
нения
n
- го порядка вместо требования выполнения условия
Липшица по
1 2
, ,...,
n
z z z
, часто требуют чтобы функция
1 2
( , , , , )
n
f x z z z
K имела непрерывные частные производные по
переменным
1 2
, ,...,
n
z z z
.
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы