Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ельцов А.А - 161 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

161
5. Дифференциальные уравнения
5.2.2. , Уравнения допускающие понижение порядка
Выше нами были рассмотрены методы решения некоторых
. классов уравнений первого порядка Возникает естественное
желание свести уравнение порядка выше первого к уравнению
. -более низкого порядка В некоторых случаях это удаётся сде
. .лать Рассмотрим их
1. Уравнения вида
( )
( )
n
y f x
решаются последовательным
интегрированием n раз
0
( 1)
1
( )
x
n
x
y f x dx C
,
0 0
( 2)
1 0 2
( ) ( )
x x
n
x x
y f x dx dx C x x C
, …
П р и м е р 1. Решить уравнение
1
xy
. Можем записать
,
y
следовательно,
1
ln
y x C
, , -и интегрируя ещё раз окончательно по
лучаем
1 2 1 2
ln ln
y x dx C x C x x x C x C
.
П р и м е р 2. Решить уравнение
sin 3
y x
. , Интегрируя получаем
1
1
cos 3
3
y x C
,
1 2
1
sin 3
9
y x C x C
,
2
1 2 3
1 1
cos 3
27 2
y x C x C x C
.
2. В уравнениях вида
( ) ( 1) ( )
( , , ,..., ) 0
k k n
F x y y y
,
1
k
,
( то есть не содержащих в явном виде неизвестной функции
) -и некоторых её производных порядок понижается с по
мощью замены переменной
( )
( )
k
y z x
. Тогда
( 1)
( ), ...
k
y z x
...,
( ) ( )
( )
n n k
y z x
,
и
мы
получаем уравнение
( )
, , ,..., 0
n k
F x z z z
порядка
n k
. Его реш ением являетс я фу нкция
( )
, , ,..., 0
n k
F x z z z
, , , или вспоминая что такое z, получаем
уравнение
( )
1 2
( , , ,..., )
n k
n k
y x C C C
ра ссмотренного в случае
1 .типа
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы