Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ельцов А.А - 162 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

. . . . А А Ельцов Интегральное исчисление Дифференциальные уравнения
162
П р и м е р 3. Решить уравнение
2 2
( )
x y y
. Делаем замену
( )
y z x
. Тогда
( )
y z x
. , -Подставляя в исходное уравнение получа
ем
2 2
x z z
. Разде , ляя переменные получаем
2 2
dz dx
z x
. -Интегри
, руя имеем
1
1
1
1 1
C x
C
z x x
, , или что то же самое
1
1
x
z
C x
. -Пос
леднее соотношение записывает ся в виде
1
1
x
y
C x
, откуда
1
1
xdx
dy
C x
. Инт егрируя при
1
0
C
, окончательно полу чаем
1 2
2
1
1
1 1
ln 1
y x C x C
C
C
. Ес ли
1
0
C
, то
,
z x y x
, и
2
3
0,5
y x C
. , Кроме того при делении на z
2
мы потеряли решение
0
y
, , или что то же самое
y C
.
П р и м е р 4. Решить уравнение
xy y
. Делаем замену
( )
y z x
.
Тогда
( )
y z x
. , Подставляя в исходное уравнение получаем
xz z
.
Р , аздел яя переменные получаем
dz dx
z x
. , Интегрируя имеем
1
ln ln ln
z x C
, , или что то же самое
1
z C x
. -Последнее соотноше
ние записывается в виде
1
y C x
, откуда
1
dy C x dx
. , -Интегрируя окон
чательно получаем
2
1 2
0,5 .
y C x C
П р и м е р 5. Решить уравнение
( 1)
x x
y e y e
. Делаем замену
( )
y z x
. Тогда
( )
y z x
. , -Подставляя в исходное уравнение получа
ем
( 1)
x x
z e ze
. , Разделяя переменные получаем
1
x
x
dz e dx
z
e
.
, Интегрируя имеем
1
ln ln( 1) ln
x
z e C
, ,или что то же самое
1
( 1)
x
z C e
. Пос ледне е соотношени е запис ыв ает ся в ви де
1
( 1)
x
y C e
, откуда
1
( 1)
x
dy C e dx
. , -Интегрируя окончательно по
лучаем
1 2
( )
x
y C e x C
.
3. , -Следующим уравнением допускающим понижение по
, рядка является уравнение вид а
( )
( , , ,..., ) 0
n
F y y y y
, -не содер
. -жащее в явном виде независимой переменной Порядок уравне
ния понижается с помощью замены переменной
( )
y p y
, где p
— , новая искомая функция зависящая от y. Тогда
,
dp dp dy
y p p
dx dy dx
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы