Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ельцов А.А - 163 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

163
5. Дифференциальные уравнения
2 2
( ) ( )
d dp dp dp dy dp dy
y p p p p p p p p p p
dx dx dx dy dx dy dx
. и так далее По индукции имеем
( ) ( 1)
1
( , ,..., )
n n
n
y p p p
.
, Подставляя в исходное уравнение понижаем его порядок на
.единицу
П р и м е р 6. Решить уравнение
2
( ) 2 0.
y yy
-Делаем стандар
тную замену
( )
y p y
, тогда
dp dy
y p p
dy dx
. -Подставляя в уравне
, ние получаем
2
2 0
dp
p y p
dy
. , Разделяя переменные при
0
p
-име
ем
2
dp dy
p y
. , Интегрируя получаем
1
1
ln ln ln
2
p y C
, или что
, то же самое
1
C
p
y
. Тогда
1
C
y
y
или
1
y dy C dx
. Интегрируя
, последнее равенство окончательно получаем
3
2
1 2
2
3
y C x C
. -При раз
делении переменных мы могли потерять решение
y C
, -которое по
лучается при
0
p
, , или что то же самое при
0
y
, но оно содержится
в полученном выше решении при
1
0
C
.
П р и м е р 7. Решить задачу Коши
2
y yy
,
(0) 0, (0) 1
y y
.
Делаем замену
( )
y p y
, тогда
.
dp dy
y p p
dy dx
-Подставляя в урав
, нение получаем
2
dp
p yp
dy
. В силу начальных условий
0
p
(
(0) 1
y
), поэтому на p . , -можно сократить Разделяя переменные име
ем
2
dp y dy
. , Интегрируя получаем
2
1
p y C
. Тогда
2
1
y y C
.
, Учитывая начальные условия получаем
1
1
C
. Поэтому
2
1
y y
или
2
( 1)
dy y dx
. Разделяя в последнем равенстве переменные и
, интегрируя окончательно получаем
2
arctg
y x C
. -Учитывая началь
, ные условия получаем
2
0
C
. , Таким образом искомое решение есть
arctg
y x
, , или что то же самое
tg
y x
.
4. , -Иногда удаётся подметить особенность позволяющую по
, -низить порядок уравнения способами отличными от рассмот
. .ренных выше Покажем это на примерах
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы