Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ельцов А.А - 165 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

165
5. Дифференциальные уравнения
пространства M[a,b]. , Следовательно как самостоятельные
объек ты C[a,b] и C
n
[a,b] -являются линейными пространства
. ми В отличие от рассмотренных в линейной алгебре пространств
.введённые пространства бесконечномерны
Определим оператор
: , ,
n
L C a b C a b
-следующим об
:разом
( ) ( 1) ( )
1 0
0
( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )
n
n n k
n n k
k
L y a x y a x y a x y a x y
.
, Докажем что оператор L . , линеен Действительно так как
для любых производных порядка k выполняется равенство
1 2
1 1 2 2 1 2
k k
k
k k k
d
y y
dx dx dx
,
то можно записать
1 1 2 2 1 1 2 2
0
1 2
1 2 1 1 2 2
0 0
( )
( ) ( ) ( ) ( ).
n
k
k
k
k
n n
k k
k k
k k
k k
d
L y y a x y y
dx
d y d y
a x a x L y L y
dx dx
, -Сравнивая крайние части этого равенства убеждаемся в спра
.ведливости высказанного утверждения
Уравнение вида
( ) ( )
L y b x
, где b(x) — ,некоторая функция
а L(y) — , -введённый выше оператор называется линейным диф
ференциальным уравнением n- . го порядка Иногда будем
пользоваться подробными записями этого уравнения
( ) ( 1)
1 1 0
( ) ( ) ... ( ) ( ) ( )
n n
n n
a x y a x y a x y a x y b x
(5.24)
или
( )
0
( ) ( )
n
k
k
k
a x y b x
. (5.24 )а
, Так же как и для уравнений первого порядка для линейных
уравнений порядка n теорема существования и единственности
.имеет более конкретный вид
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы