Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ельцов А.А - 167 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

167
5. Дифференциальные уравнения
, Напомним некоторые понятия линейной алгебры которые
.нам потребуются в дальнейшем
Определение. Система функций
1 2
, ,...,
m
y y y
называется
[линейно зависимой на отрезке a,b], -если существуют чис
ла
1 2
, ,...,
m
, не все из котор , , ых равны нулю такие что
1 1 2 2
1
... 0
m
m m i i
i
y y y y
всюду на ],[ ba , , -и линейно независимой если такого нену
.левого набора не существует
, Так же как и для систем векторов для систем функций
.справедливы следующие ниже свойства
1. Система функций
1 2
, ,...,
m
y y y
-линейно зависима на от
[резке a,b] , -тогда и только тогда когда одна из них есть линей
.ная комбинация остальных
2. , , -Всякая система функций содержащая функцию тожде
[ственно равную нулю на отрезке a,b], линейно зависима на
[a,b].
3. , Всякая система функций содержащая линейно зависимую
[на отрезке a,b] , [подсистему функций линейно зависима на a,b].
-Доказательства этих утверждений аналогичны доказатель
ствам соответствующих утверждений для систем векторов и
.предлагаются в качестве упражнений
-Приведём примеры линейно зависимых и линейно незави
.симых систем функций
П р и м е р 1. Система функций
2 2
1, cos , sin
-линейно зависи
, ма на всей числовой оси так как по основному тригонометрическому
тождеству
2 2
cos sin 1.
x x
П р и м е р 2. Функции
2
1, , ,...,
n
x x x
о -бразуют линейно независи
, мую систему на любом отрезке числовой прямой так как по основной
[6] ( ) теореме алгебры полином многочлен степени n, у которого хотя
, бы один коэффициент отличен от нуля не может обращаться в нуль
более чем в n .точках вещественной прямой
П р и м е р 3. -Для доказательства линейной независимости систе
мы функций
1, cos , sin
x x
, -требуется показать что при любом нену
левом наборе констант
1 2 3
, ,
выражение
1 2
cos
x
3
sin
x
не
может тождественно равняться .нулю
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы