Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ельцов А.А - 166 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

. . . . А А Ельцов Интегральное исчисление Дифференциальные уравнения
166
5.5.Теорема Пусть функции ( ), 0
k
a x k n
, и b(x) -оп
[ределены и непрерывны на отрезке ,],
( ) 0
n
a x
для
всякого x [из ,] и пусть x
0
— некоторая точка этого
. (5.21)отрезка Тогда для любого набора начальных данных
0 1 ( 1) 1
0 0 0 0 0 0
( ) , ( ) , , ( )
n n
y x y y x y y x y
K
существует
(5.24), единственное решение уравнения определённое на
[всём отрезке ,].
.Доказательство этого результата опустим
, -Отметим что свойства решений линейных дифференциаль
ных уравнений
( ) ( )
и
( ) 0
L y
-подобны свойствам ре
шений систем линейных алгебраических уравнений
Ax B
и
0
Ax
. При .ведём эти свойства
5.6 ( ).Теорема о наложении решений Если y
1
, y
2
— -реше
ния уравнений L(y) b
1
и L(y) b
2
, -соответственно то ли
нейная комбинация
1 1 2 2
y y
есть решение уравнения
1 1 2 2
( )
L y b b
.
.Доказательство В силу линейности оператора L имеем
1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2
( ) ( ) ( ) .
L y y L y L y b b
-Теорема дока
.зана
1.Следствие Если y
1
— решение уравнения
1
( )
L y b
, y
2
—
решение уравнения
( ) 0
L y
, то
1 2
y y
— решение уравнения
1
( )
L y b
.
2.Следствие -Любая линейная комбинация решений урав
нения
( ) 0
L y
.снова есть решение этого уравнения
.Доказательство Пусть
1 2
, ,...,
m
y y y
-есть решения уравне
ния
( ) 0
L y
. Тогда
1 1
0
m m
j j j j
j j
L y L y
.
.Следствие доказано
3Следствие . Множество всех решений уравнения
( ) 0
L y
образует линейное подпространство пространства
,
n
C a b
.
Доказательство. -По предыдущему следствию линейные опе
рации над решениями уравнения
( ) 0
L y
-не выводят за преде
, -лы множества решений этого уравнения что и доказывает след
.ствие
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы