Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ельцов А.А - 168 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

. . . . А А Ельцов Интегральное исчисление Дифференциальные уравнения
168
Не всегда удаётся легко показать линейную зависимость или
, линейную независимость систем функций пользуясь только
. -определением Для выяснения этого вопроса служит построен
.ный ниже определитель
Рассмотрим совокупность
1
m
-раз непрерывно дифферен
цируемых функций
1 2
, ,...,
m
y y y
. Определитель
1 2
1 2
( 1) ( 1) ( 1)
1 2
( )
m
m
m m m
m
y y y
y y y
W x
y y y
K
K
K K K K
K
-называется определителем Вронского или вронскианом систе
мы функций
1 2
, ,...,
m
y y y
.
Определитель Вронского служит индикатором линейной
.зависимости системы функций
5.7. Теорема Если система функций линейно зависима на
[,], то её определитель Вронского W(x) равен нулю во
[всякой точке отрезка ,].
.Доказательство Пусть система функций
1 2
, ,...,
m
y y y
-ли
. 1 -нейно зависима Тогда по свойству одну из них можно пред
. ставить в виде линейной комбинации остальных Подставляя
, ,эту линейную комбинацию в определитель Вронского получаем
что при любом фиксированном x соответствующий столбец есть
. , линейная комбинация остальных Следовательно по свойствам
, определителя он равен нулю для в сех
[ , ]
x
. Теоре -ма дока
.зана
5.8. Теорема Если
1 2
, ,...,
m
y y y
— линейно независимая
-система решений линейного однородного уравнения по
рядка n
( ) 0
L y
[с непрерывными на ,] -коэффициента
ми и
( ) 0
n
a x
для всех
[ , ]
x
, -то её определитель Врон
ского W(x) отличен от нуля для всех
[ , ]
x
.
.Доказательство , Предположим что существует точка
[ , ]
x
, в которой определитель Вронского W(x
0
) .равен нулю
-Рассмотрим однородную систему линейных алгебраических урав
нений
( )
0
1
( ) 0, 0,1,..., 1.
n
k
j j
j
y x k n
Её определитель есть
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы