Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ельцов А.А - 169 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

169
5. Дифференциальные уравнения
определитель Вронского W(x
0
), и так как по предположению
0
( ) 0
W x
, то сис тема имеет нетривиа льное решение
1 2
( , ,..., )
T
n
(хотя бы одно из
j
).не равно нулю
Рассмотрим функцию
1
( ) ( ),
n
j j
j
y x y x
где
j
— компоненты
вектора . Эта функция является решением уравнения
( ) 0
L y
2 5.6 . по следствию теоремы о наложении решений С другой
, стороны имеем
0 0
1
( ) ( ) 0,
n
j j
j
y x y x
0 0
1
( ) ( ) 0,
n
j j
j
y x y x
…………………………
( 1) ( 1)
0 0
1
( ) ( ) 0.
n
n n
j j
j
y x y x
, , Таким образом мы показали что функция y(x) -удовлетво
ряет в точке x
0
-системе нулевых начальных данных и по тео
5.4 реме существования и единственности
( ) 0
y x
[на ,]. Это
противоречит линейной независимости системы функций
1 2
, ,...,
n
y y y
. .Теорема доказана
-Удостоверимся в существовании базиса в пространстве ре
шений уравнения
( ) 0
L y
.
5.9.Теорема -Для любого линейного однородного диффе
ренциального уравнения порядка
( ) 0
L y
существует
, система состоящая из
n
линейно независимых решений
.этого уравнения
. Доказательство Возьмём матрицу
1 1 1
1 2
2 2 2
1 2
1 2
n
n
n n n
n
a a a
a a a
a a a
K
K
K K K K
K
(5.25)
, . с определителем отличным от нуля Тогда строки и столбцы
. этой матрицы линейно независимы Найдём такие решения
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы