Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ельцов А.А - 171 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

171
5. Дифференциальные уравнения
, , Так же как и в линейной алгебре имеет место следующий
.результат
5.11 ( -Теорема о виде общего решения линейного неодно
).родного дифференциального уравнения Общее решение
y
он
-линейного неоднородного дифференциального уравне
ния L(y) b есть сумма общего решения y
оо
-соответству
- -ющего однородного уравнения и какого либо частного ре
шения y
чн
, неоднородного уравнения то есть
он оо чн
( ) ( ) ( )
y x y x y x
.
.Доказательство Пусть y
чн
(x) — - -какое нибудь фиксирован
ное частное решение неоднородного линейного уравнения
L(y) b. , -Нам нужно показать что для любого набора началь
ных данных
0
0 0
( ) ,
y x y
1 ( 1) 1
0 0 0 0
( ) , , ( )
n n
y x y y x y
K
-существу
ет набор чисел
1 2
, ,...,
n
C C C
, такой что решение
чн
1
( ) ( ) ( )
n
j j
j
y x C y x y x
,
где
1 2
, ,...,
n
y y y
— -фундаментальная система решений соответ
ствующего однородного уравнения L(y) 0, удовлетворяет
. , -этому набору начальных данных Потребовав чтобы данное ре
, шение удовлетворяло начальным условиям получим систему
линейных алгебраических уравнений
( ) ( ) ( )
0 0 0 0чн
1
( ) ( ) ( ) , 0,1,..., 1
n
k k k k
j j
j
C y x y x y x y k n
, ,или что то же самое
( ) ( )
0 0 0чн
1
( ) ( ), 0,1,..., 1
n
k k k
j j
j
C y x y y x k n
,
определитель которо й
0
( ) 0
W x
, и -поэтому существует един
. .ственное решение этой системы Теорема доказана
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы