Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ельцов А.А - 172 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

. . . . А А Ельцов Интегральное исчисление Дифференциальные уравнения
172
5.2.4. Линейные дифференциальные уравнения
с постоянными коэффициентами
Поиск фундаментальной системы решений в общем случае
. , является достаточно трудной задачей Тем не менее есть класс
, .уравнений для которого эта задача достаточно легко решается
.К изучению этого класса мы и приступаем
(5.24) -Линейное дифференциальное уравнение назовём урав
, -нением с постоянными коэффициентами если в этом уравне
, нии коэффициенты постоянны то есть
const
i
a x
. Т -огда со
ответствующее однородное уравнение L(y) 0 будет иметь вид
( ) ( ) ( 1)
1
0
1 0
( ) ...
0.
n
k n n
k n n
k
L y a y a y a y
a y a y
(5.27)
(5.27) Решение уравнения будем искать в виде
rx
y e
.
Тогда
rx
y r e
,
2
y r e

,…,
( )
n n rx
y r e
. Подставляя (5.27),в
получаем
1 0
0 0
( ) ( ... ) 0
n n
rx k rx rx k rx n
k k n
k k
L e a r e e a r e a r a r a
.
Так как
e
, нигде в нуль не обращается то
1
1 1 0
0
... 0
n
n n k
n n k
k
a r a r a r a a r
. (5.28)
(5.28) -Уравнение называется характеристическим уравне
нием линейного однородного дифференциального уравнения с
.постоянными коэффициентами
, .Таким образом нами доказана следующая теорема
5.12.Теорема Функция
rx
y e
яв -ляется решением ли
-нейного однородного дифференциального уравнения с по
(5.27) ,стоянными коэффициентами тогда и только тогда
когда r (5.28).есть корень характеристического уравнения
.Возможны нижеследующие случаи
1. Все корни характеристического многочлена вещественны
. и различны Обозначим их
1 2
, ,...,
n
r r r
. Тогда полу чим n -раз
личных решений
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы