Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ельцов А.А - 174 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

. . . . А А Ельцов Интегральное исчисление Дифференциальные уравнения
174
П р и м е р 1. Для уравнения
3 2 0
y y y
-корни характерис
тического уравнения
2
3 2 0
r r
равны
1
1
r
,
2
2
r
. -Следователь
, но фундаментальную систему решений составляют функции
1
x
y e
,
2
2
x
y e
, а общее решение записывается в виде
2
1 2
x x
y C e C e
.
2. -Среди действительных корней характеристического урав
. , нения есть кратные Предположим что r
1
имеет кратность ,
. а все остальные различны Рассмотрим вначале случай r
1
0.
Тогда характеристическое уравнение имеет вид
1
1
... 0
n n
n n
a r a r a r
,
так как в противном случае r
1
-не являлось бы корнем кратно
сти . , Следовательно дифференциальное уравнение имеет вид
( ) ( 1) ( )
1
... 0
n n
n n
a y a y a y
,
то есть не содержит производных порядка ниже . -Этому урав
, нению удовлетворяют все функции у которых производные
порядка . , -и выше равны нулю В частности таковыми являют
ся все полиномы степени не выше
1
, например
2 1
1, , , ...,x x x
. (5.30)
, . -Покажем что данная система линейно независима Соста
, вив определитель Вронского этой системы функций получим
1
2
2 1
1
0 1 ( 1)
1, , ,..., .
0 0 ( 1)!
x x
x
W x x x
K
K
K K K K
K
Это определитель треугольного вида с отличными от нуля
, . -элементами стоящими на главной диагонали Поэтому он от
, личен от нуля что и доказывает линейную независимость
(5.30). , системы функций Заметим что в одном из примеров
предыдущего параграфа мы доказывали линейную независимость
(5.30) . системы функций другим способом Пусть теперь
корнем характеристического уравнения кратности является
число
1
0
r
. (5.27) Произведём в уравнении L(y) 0 замену
1
1
exp( )
r x
y ze z r x
. Тогда
1
1
( ) ,
r x
y z r z e
1
2
1 1
( 2 )
r x
y z r z r z e
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы