Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ельцов А.А - 175 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

175
5. Дифференциальные уравнения
. и так далее Подставляя полученные значения производных в
, -исходное уравнение снова получим линейное однородное урав
нение с постоянными коэффициентами
( ) ( ) ( 1)
1 1 1 0
0
( ) ... 0
n
k n n
k n n
k
L z b z b z b z b z b z
(5.31)
с характеристическим уравнением
1
1 1 0
0
... 0
n
n n j
n n j
j
b k b k b k b b k
. (5.32)
, Отметим что если k — -корень характеристического уравне
(5ния .32), то
kx
z e
— (5.31), решение уравнения а
xrkxr
ezey
)(
11
(5.27). является решением уравнения Тогда
r k r
1
— корень ха (5.28). -рактеристического уравнения С дру
, (5.27) -гой стороны уравнение может быть получено из уравне
(5.31) ния обратной заменой
r x
z ye
, -и поэтому каждому кор
(5.28) ню характеристического уравнения соответствует корень
1
k r r
(5.32). -характеристического уравнения Таким обра
, -зом установлено взаимно однозначное соответствие между кор
(5.28) (5.32),нями характеристических уравнений и
причём различным корням одного уравнения соответствуют
. различные корни другого Так как
1
r r
— корень кратности
 (5.28), (5.32) уравнения то уравнение имеет k 0 -корней крат
ности . (5.31) По доказанному ранее уравнение имеет -линей
но независимых решений
2 1
1 2 3
1, , , ...,z z x z x z x
,
которым соответствует линейно независимых решений
1 1 1 1
2 1
1 2 3
, , , ...,
r x r x r x r x
y e y xe y x e y e x
(5.33)
(5.27). уравнения Присоединяя полученную систему решений
(5.33) к
n
, -решениям соответствующим остальным кор
, -ням характеристического уравнения получим фундаменталь
-ную систему решений для линейного однородного дифференци
ального уравнения с постоянными коэффициентами в случае
.наличия действительных кратных корней
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы