Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ельцов А.А - 173 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

173
5. Дифференциальные уравнения
1
1
r x
y e
,
2
2
r x
y e
, …,
n
r x
n
y e
(5.29)
(5.27). , уравнения Докажем что полученная система решений
. линейно независима Рассмотрим её определитель Вронского
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 1 1
1 2
...
...
( , ,..., )
... ... ... ...
...
n
n
n
n
r x
r x
r x r x
r xr x r x
n
r x
r x r x
n n n
n
e e e
r e r e r e
W e e e
r e r e r e
1 2
1 2
( ... )
1 1 1
1 2
1 1 ... 1
...
... ... ... ...
...
n
n
r r r x
n n n
n
r r r
e
r r r
.
Множител ь
1 2
( ... )
n
r r r x
e
в правой части
1 2
( , ,..., )
n
r x
r x r x
W e e e
. , нигде в нуль не обращается Поэтому осталось показать что
( ) . ,второй сомножитель определитель не равен нулю Допустим
что
1 2
1 1 1
1 2
1 1 ... 1
...
0.
... ... ... ...
...
n
n n n
n
r r r
r r r
, . .Тогда строки этого определителя линейно зависимы т е
существуют числа
1 2
, ,...,
n
таки , е что
1
1
1
0
n
k
k
k
r
,
1
2
1
0
n
k
k
k
r
, … ,
1
1
0
n
k
k n
k
r
.
, , Таким образом мы получили что
, 1,2,...,
i
r i n
есть
n (различных корней полинома n – 1)- , й степени что
. , невозможно Следовательно определитель в правой части
1 2
( , ,..., )
n
r x
r x r x
W e e e
не р (5.29)авен нулю и система функций
(5.27)образует фундаментальную систему решений уравнения
, -в случае когда корни характеристического уравнения раз
.личны
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы