Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ельцов А.А - 176 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

. . . . А А Ельцов Интегральное исчисление Дифференциальные уравнения
176
П р и м е р 2. Для уравнения
4 4 0
y y y
характеристическое
уравнение
3 2
4 4 0
r r r
имеет корни
0
r
1 кратности и
2
r
2, кратности так как
4 4 ( 2)
r r r r r
. -Поэтому фундаменталь
-ной системой решений исходного уравнения является система функ
ций
2 2
1 2 3
1, ,
x x
y y e y xe
, а общее решение имеет вид
1
y C
2 2
2 3
.
x x
C e C xe
П р и м е р 3. Для уравнения
(5) (4)
2 0
y y y
-характеристичес
кое уравнение
5 4 3
2 0
r r r
имеет корни
0
r
3 кратности и
1
r
2, кратности так как
5 4 3 3 2
2 ( 1)
r r r r r . -Поэтому фундаменталь
-ной системой решений исходного уравнения является система функ
ций
2
1 2 3 4 5
1, , , ,
x x
y y x y x y e y xe
, а общее решение имеет
вид
2
1 2 3 4 5
x x
y C C x C x C e C xe
.
3. -Среди корней характеристического уравнения есть комп
. ,лексные корни Можно рассматривать комплексные решения
но для уравнений с действительными коэффициентами это не
. , -очень удобно Найдём действительные решения соответствую
. -щие комплексным корням Так как мы рассматриваем урав
, нение с действительными коэффициентами то для каждого
комплексного корня
j
r a bi
кратности
-характеристичес
- кого уравнения комплексно сопряжённое ему число r
k
a bi
также является корнем кратности . -этого уравнения Соответ
ствующими этим корням парами решений являются функции
( )
1
l l a bi x
y x e
и
( )
2
l l a bi x
y x e
,
0,1,..., 1
l
. -Вместо этих ре
шений рассмотрим их линейные комбинации
1 2 1 2
1 2
cos , sin
2 2
l l l l
l l ax l l ax
y y y y
y x e bx y x e bx
i
% %
,
0,1,..., 1
l
, -которые также являются решениями уравне
ния L(y) 0. , Так как преобразование осуществляющее переход
от
1 2
,
l l
y y
к
1 2
,
l l
y y
% %
,
0,1,..., 1
l
, ( невырожденное с отличным
), -от нуля определителем то оно переводит линейно независи
.мую систему решений в линейно независимую
П р и м е р 4. Для уравнения
2 5 0
y y y
-корни характерис
тического уравнения
2
2 5 0
r r
равны
1,2
2 4 20
1 2
2
r i
, и
фундаментальная система решений состоит из функций
1
cos 2 ,
x
y e x
2
sin 2 ,
x
y e x
а общее решение имеет вид
1 2
cos 2 sin 2 .
x x
y C e x C e x
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы