Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ельцов А.А - 177 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

177
5. Дифференциальные уравнения
П р и м е р 5. Для уравнения
4 13 0
y y y
-корни характе
рис тиче ского урав нени я
3 2
4 13 0
r r r
равны
1
0,
r
2,3
4 16 52
2 3
r i
, -и фундаментальная система решений состо
ит из функций
2 2
1 2 3
1, cos 3 , sin 3 ,
x x
y y e x y e x
а общее решение
имеет вид
2 2
1 2 3
cos 3 sin 3 .
x x
y C C e x C e x
П р и м е р 6. Для уравнения
(4)
8 16 0
y y y
-характеристичес
кое уравнение
4 2
8 16 0
r r
имеет корни
2
r i
2, кратности так
как
4 2 2 2
8 16 ( 4)
r r r
. -Поэтому фундаментальной системой ре
шений исходного уравнения является система функций
1
cos2 ,
y x
2 3 4
sin 2 , cos2 , sin 2
y x y x x y x x
, а общее решение имеет вид
1 2 3 4
cos2 sin2 cos2 sin 2 .
y C x C x C x x C x x
5.2.5. Метод вариации произвольных постоянных
решения линейных неоднородных уравнений
(5.24)Рассмотрим теперь линейное неоднородное уравнение
( )
0
( ) ( ) ( )
n
k
k
k
L y a x y b x
.
Пуст ь
1 2
, ,...,
n
y y y
— фу , ндаментальная система решений а
1
n
j j
j
y C y
— общее решение соответствующего однородного
уравнения L(y) 0. -Аналогично случаю уравнений первого по
(5.24) рядка будем искать решение уравнения в виде
1
( )
n
j j
j
y C x y
. (5.34)
, .Убедимся в том что решение в таком виде существует
. Для этого подставим функцию в уравнение Для подстановки
. -этой функции в уравнение найдём её производные Первая про
изводная равна
1 1
( ) ( )
n n
j j j j
j j
y C x y C x y
. (5.35)
(5.35)При вычислении второй производной в правой части
, -появится четыре слагаемых при вычислении третьей про
— . -изводной восемь слагаемых и так далее Так как при подста
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы