Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ельцов А.А - 179 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

179
5. Дифференциальные уравнения
, (5.39).Следовательно существует единственное решение системы
, Найдя его получим функции
( ), 1,2,..., ,
j
C x j n
,а следовательно
и
( ), 1,2,...,
j
C x j n
. Подс (5.34), -тавляя эти значения в полу
.чаем решение линейного неоднородного уравнения
Для n 2, , то есть для уравнения второго порядка система
(5.39) уравнений приобретает вид
1 1 2 2
1 1 2 2
2
0,
( )
,
C y C y
b x
C y C y
a x
а для n 3 (5.39) система записывается в виде
1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3
3
0,
0,
( )
.
( )
C y C y C y
C y C y C y
b x
C y C y C y
a x
-Изложенный метод называется методом вариации произволь
.ной постоянной или методом Лагранжа
П р и м е 1. р Найдём общее решение уравнения
4 3
y y y
2
2
4
x
e
. Рас смотрим соответс твующее однородное уравнение
4 3 0
y y y
. Корни его характеристического уравнения r
2
4r
3
0 равны 1 и 3. Поэтому фундаментальная система решений
однородного уравнения состоит из функций y
1
e
x
и y
2
e
3x
. -Реше
ние неоднородного уравнения ищем в виде
3
1 2
( ) ( )
x x
y C x e C x e
.
Для нахождения производных
1 2
,
C C
составляем систему уравнений
(5.39)
3
1 2
3
1 2
2
0,
2
3 ,
4
x x
x x
x
C e C e
C e C e
e
, решая которую находим
1
2
4
x
x
e
C
e
,
3
2
2
4
x
x
e
C
e
. Интегрируя
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы