Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ельцов А.А - 180 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

. . . . А А Ельцов Интегральное исчисление Дифференциальные уравнения
180
, получе нные фун кци и имеем
1 1
1
arctg
2 2
x
e
C C
%
, C
2
e
x
2
2arctg
2
x
e
C
%
. Подставляя C
1
и C
2
в выражение для y, окончательно
находим
2 3 3
1 2
1
2 arctg arctg
2 2 2
x x
x x x x x
e e
% %
.
П р и м е р 2. Найдём общее решение уравнения
4 3
x
y y y e
.
. Пример отличается от предыдущего лишь правой частью Поэтому
изменяется лишь система уравнений для нахождения производных
1 2
,
C C
, приобретающая вид
3
1 2
3
1 2
0,
3 .
x x
x x x
C e C e
C e C e e
, Решая эту систему находим
2
1
1
2
x
C e
,
4
2
1
2
x
C e
. , -Отсюда интег
, рируя имеем
2
1 1
1
4
x
C e C
%
,
4
2
1
2
8
x
C e C
%
. Подставляя C
1
и C
2
в
выражение для y, окончательно находим
1
1 1
4 8
x x x
y e e C e
%
3 3
2 1 2
1
8
x x x x
C e e C e C e
% % %
.
П р и м е р 3. Найдём общее решение уравнения
5
7 6
x
y y y e
.
Корни характеристического полинома
3
7 6
r r
соответствующего
однородного уравнения равны 2, 1, 3. -Поэтому фундаментальная си
стема решений однородного уравнения состоит из функций
2
1
x
y e
,
2
x
y e
,
3
3
x
y e
. Решение неоднородного уравнения ищем в виде
2 3
1 2 3
( ) ( ) ( )
x x x
y C x e C x e C x e
. Для нахождения производных
1 2 3
, ,
C C C
(5.39)составляем систему уравнений
2 3
1 2 3
2 3
1 2 3
2 3 5
1 2 3
0,
2 3 0,
4 9 .
x x x
x x x
x x x x
C e C e C e
C e C e C e
C e C e C e e
, Решая эту систему находим
7
1
1
5
x
C e
,
6
2
1
4
x
C e
,
2
3
1
20
x
C e
.
, Инт егри руя полученн ы е фу нкции им еем
7
1 1
1
35
x
C e C
%
,
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы