Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ельцов А.А - 182 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

. . . . А А Ельцов Интегральное исчисление Дифференциальные уравнения
182
с постоянными коэффициентами и правой частью вида
(5.40) имеет частное решение
( ) ( ( ) cos ( )sin )
k x
y x x e R x x S x x
,
где R(x), S(x) — , , -полиномы подлежащие определению сте
пень которых равна максимальной степени полиномов P(x),
Q(x); k — , число равное кратности корня
i
-характе
ристического полинома соответствующего однородного
, уравнения если
i
— ко , рень этого полинома и k 0,
.если не является корнем характеристического полинома
.Доказательство этого результата опустим
П р и м е р 1. Для уравнения
4 5 2 2 3
y y y y x
корнями
характеристического уравнения
3 2
r r r
являются r 2
1 кратности и r 1 2. , кратности Следовательно
0
i
-не являет
. ся корнем характеристического уравнения Поэтому k 0, и частное
решение ищем в виде
y cx d
. Так как
, 0, 0
y c y y
, ,то
, подставляя в уравнение получаем
5 2 2 2 3
c cx d x
. -Приравни
вая коэффициент ы при одина ков ых сте пенях x, получаем
2 2, 5 2 3
c c d
. , Следовательно
1, 4
c d
и
4
y x
—
, частное а
2
1 2 3
4
x x x
y x C e C xe C e
— .общее решения уравнения
П р и м е р 2. Для уравнения
2
4 5 2 (2 3)
x
y y y y x e
число
2
i
являе -тся корнем характеристического уравнения кратнос
1. ти Поэтому частное решение ищем в виде y x(cx d)e
2x
.
П р и м е р 3. Для уравнения
cos
y y x
-корнями характерис
тического полинома
2
1
r
являются числа
r i
1.кратности
Поэтому частное решение ищем в виде
1 2
( cos sin )
y x a x a x
. -Тог
да
1 2 2 1
( ) cos ( )sin ,
y a a x x a a x x
2 1 1 2
(2 ) cos ( 2 ) sin
y a a x x a a x x
.
, Подставляя в исходное уравнение и приводя подобные получаем
2 1
2 cos 2 sin cos
a x a x x
, откуда
1 2
0, 0,5
a a . ,Следовательно
0,5 sin
y x x
— , частное
1 2
0,5 sin cos sin
y x x C x C x
— о -бщее ре
.шения уравнения
П р и м е р 4. Для уравнения
7 6 2 3
y y y x
-корнями харак
теристического уравнения
3
7 6 0
r r
являются числа 2, 1, 3.
Числа
0
i
. среди этих корней нет Поэтому частное решение
ищем в виде
y cx d
.
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы