Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ельцов А.А - 170 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

. . . . А А Ельцов Интегральное исчисление Дифференциальные уравнения
170
( ), 1,2,... ,
j
y x j n
уравнения
( ) 0
L y
, чтобы выполнялись
соотношения
( ) 1
0
( ) , 0,1,..., 1
k k
j j
y x a k n
. 5.4По теореме
-существования и единственности такой набор решений суще
. , ствует Найденная система решений линейно независима так
как её определитель Вронского в точке x
0
-совпадает с опреде
(5.25). .лителем матрицы Теорема доказана
(5.25) .Матрицу можно взять единичную
5.10 ( -Теорема о виде общего решения линейного одно
).родно го диффер ен циальн ого ура внен ия Если
1 2
, ,...,
y y y
— линейно независимая система решений
линейного однородного уравнения n- го порядка
( ) 0
L y
,
то любое его решение есть линейная комбинация этих
, решений то есть
1
( ) ( )
n
j j
j
y x C y x
, (5.26)
, , и следовательно
1 2
, ,...,
y y y
— -базис пространства реше
ний уравнения L(y) 0.
.Доказательство , Нам нужно показать что любое частное
решение уравнения L(y) 0 (5.26), получается из то есть для
(5.21)любого набора начальных данных (
0
0 0
( ) ,
y x y
0
( )
y x
1 ( 1) 1
0 0 0
, , ( )
n n
y y x y
K
) существует набор чисел
1 2
, ,...,
C C C
, (5.26) (5.21).такой что соответствующее решение удовлетворяет
, (5.26) (5.21),Потребовав чтобы решение удовлетворяло условиям
получим систему линейных алгебраических уравнений
( ) ( )
0 0 0
1
( ) ( ) , 0,1,..., 1,
n
k k k
j j
j
C y x y x y k n
определитель которой
0
( ) 0
W x
, и -поэтому существует един
.ственное решение этой системы
, , Таким образом нами показано что хотя само пространство
C
n
[a,b] , бесконечномерно подпространство решений линейного
.однородного дифференциального уравнения конечномерно
Определение. -Любой базис пространства решений линей
ного однородного дифференциального уравнения
n
- -го по
рядка называется фундаментальной системой решений
.этого уравнения
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы