Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ельцов А.А - 152 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

. . . . А А Ельцов Интегральное исчисление Дифференциальные уравнения
152
5.1.6. Уравнения Бернулли
Дифференциальное уравнение
0
( ) ( )
n
y a x y b x y
(5.13)
.называется уравнением Бернулли
Так как при n 0 , получается линейное уравнение а при
n 1 — , , с разделяющимися переменными то предположим что
n 0 и n 1. (5.13) Разделим обе части на y
n
. Тогда
0
1
( )
( )
n n
a x
y
b x
y y
. (5.14)
Положив
1
1
n
z
y
, имеем
1
n
n
y
. (5.14),Подставляя в
получим
0
( ) ( )
1
z
a x z b x
n
, или что то же само ,е
0
(1 ) ( ) (1 ) ( )
z n a x z n b x
.
, .Это линейное уравнение которое мы решать умеем
П р и м е р 1. Найти общее решение уравнения
3
2 2
y xy xy
.
Это уравнение Бернулли при n 3. Разделив обе части уравнения на
y
3
, получаем
3 2
2
2 .
y x
x
y y
Делаем замену
2
1
z
y
. Тогда
3
2
y
z
y
,
и поэтому уравнение переписывается в виде
4 4
z xz x
. Решая это
, -линейное уравнение методом вариации произвольной постоянной по
лучаем
2
2
1
( ) 1 ,
x
z x C e откуда
2
2
1
2
1
1
x
C e
y
, ,или что то же самое
2
2
1
1
1
x
y
C e
. При делении на y
3
мы потеряли решение y 0, -кото
.рое в полученное решение не входит
П р и м е р 2. Найти общее решение уравнения
2 3
2 2
yy xy x
.
Это уравнение получено из уравнения Бернулли
3 1
2 2
y xy x y
при n 1. Делаем замену z y
2
. Тогда
2
z yy
, -и поэтому уравне
ние переписывается в виде
3
2
z xz x
. -Это линейное уравне
. .ние Решаем вначале соответствующее однородное уравнение
Имеем
2 0
z xz
,
2
x
z Ce
. Находим теперь решение уравнения
3
2
z xz x
в виде
2
( )
x
z C x e
. Подставляя в него z и z, получаем
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы