Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ельцов А.А - 149 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

149
5. Дифференциальные уравнения
(5.3). только одно решение уравнения Если условия теоремы
, нарушаются в некоторой точке то через неё может проходить
( ) больше чем одно решение нарушается единственность либо
( ).не проходить ни одного решения нарушается существование
.Определение Семейство
( , )
y x C
-решений дифферен
(5.3) -циального уравнения назовём его общим решени
, ем если для любого набора начальных данных
0 0
( , )
x y D
найдётся константа
C
, -на которой этот набор реализует
, , ся то есть такая что для решения
( , )
y x C
выполнены
начальные условия
0 0
( , )
y x C
.
5.1.5. Линейные уравнения первого порядка
Уравнение первого порядка вида
1 0
a x y a x y b x
(5.9)
. называется линейным дифференциальным уравнением Если
( ) 0,
b x
(5.9) ,то уравнение называется линейным однородным
— . -в противном случае линейным неоднородным Для линей
ного дифференциального уравнения теорема существования и
.единственности имеет более конкретный вид
5.2.Теорема Пусть
1
( )
a x
,
0
( )
a x
,
( )
b x
-непрерывны на от
[резке ,],
1
( ) 0
a x
для
,
x
 
. Тогда для любой
точки
0 0
,
x y
,
0
,
x a b
, -существует единственное реше
(5.9), ние уравнения удовлетворяющее условию
0 0
( )
y x y
[и определенное на всем интервале ,].
-Рассмотрим однородное линейное дифференциальное урав
нение
1 0
( ) ( ) 0
a x y a x y
. (5.10)
, Разделяя переменные получаем
0
1
( )
( )
a x
dy
dx
y a x
, -или интег
, рируя обе части
0
0
1
( )
ln ln
( )
x
x
a x
y dx C
a x
. -Последнее соотно
, шение с учетом обозначения exp( )
x
x e
, записывается в форме
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы