Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ельцов А.А - 147 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

147
5. Дифференциальные уравнения
5.2. Задание :Решить уравнения
1)
( ) 0
y x dy y dx
; 2)
2 2 2
( ) 0
x xy y dy y dx
;
3)
(ln ln )
xy y y x
.
Ответы: 1)
exp , 0
y y
x C y
x x
;
2)
,exp 0,
x x
x C y y x
y x y
; 3)
exp( 1)
y x Cx
.
5.1.4. Постановк а зад .ачи о выделении решений
Теорема существования и единственности
, -Как мы уже видели множество решений дифференциально
го уравнения
( , )
y f x y
, -есть некоторое семейство функций за
. висящее от константы Хотелось бы выяснить условия на
функцию f(x,y), при выполнении которых можно выделить
, -конкретное решение этого уравнения удовлетворяющее зара
. нее заданным требованиям Для уравнения первого порядка
.требования формулируются следующим образом
Найти решения дифференциального уравнения (5.3)
( , )
y f x y
,
удовлетворяющие условиям
0 0
( )
y x y
. (5.7)
, Сформулированные условия называются условиями Коши а
, ,задача о выделении решения удовлетворяющего условиям Коши
— задачей Коши.
Определение. , Будем говорить что функция f(x,y) -удов
летворяет условию Липшица по y в области D, если для
любых двух точек
1 2
( , ),( , )
x y x y
-из этой области выпол
нено неравенство
1 2 1 2
( , ) ( , )
f x y f x y L y y
, (5.8)
где L — , некоторая константа не зависящая от x и y.
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы