Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ельцов А.А - 145 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

145
5. Дифференциальные уравнения
ln ln 1 ln
y x x C
, отсюда ( 1)
x
y C x e
. Решение y 0 -по
лучается при C 0, а решение
1
x
. не содержится в нем Таким
, образом решением уравнения являются функции
( 1)
x
y C x e
,
1
x
.
П р и м е р 3. Решить уравнение
5 5
( 9)
x x
e dy ye dx
. -В предполо
, жен ии что
0,
y
получаем
5
9
x
dy e dx
y
e
, или инт егриру я,
5
1
ln ln( 9) ln
5
x
y e C
, отсюда
5
5
9
x
y C e
. Решение y 0 -полу
чается при C 0.
5.1. Задание :Решить дифференциальные уравнения
1)
3 2 2
1 1
x y x y
; 2)
4 3 2
9 ( 4) 0
x y x y
;
3)
3 2 4
( 1) (1 )2 0
x y dx x y dy
; 4)
2
(1 ) ( 1)
x y x y
.
Ответы:
1)
3
2
sin 1 , 1
3
y C x y
; 2)
4
2tg 9
y x C
;
3)
4
2 4
1 1
y C x
; 4)
2
1 , 1
y C x y
.
5.1.3. Однородные уравнения
Функция F(x
1
,
x
2
,
..,
x
n
) называется однородной степени k,
если для нее выполнено соотношение F(tx
1
,
tx
2
,
...,
tx
n
)
t
k
F(x
1
,
x
2
,
..,
x
n
).
Дифференциальное уравнение y f(x,y) -называется однород
, ным если f(x,y) — , однородная функция нулевой степени то
есть f(tx,ty) f(x,
y).
-В этом случае дифференциальное уравнение удаётся запи
сать в виде
y
y
x
.
, Отметим что уравнение M(x,y) dx + N(x,y) dy 0 -является од
, нородным тогда и только тогда когда функции M(x,y) и N(x,y)
— .однородные функции одной и той же степени
-Однородное дифференциальное уравнение сводится к урав
нению с разделяющимися переменными заменой y xu , или что
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы