Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ельцов А.А - 185 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

185
5. Дифференциальные уравнения
(5.41), -в которой решение системы уравнений удовлетво
(5.42), -ряющее начальным данным существует и един
.ственно
.Доказательство этого результата опустим
Если функции
, 1, ,
i
f i n
не зависят от x, (5.41)то система
. называется автономной В этом случае обычно вместо x пишут
t и систему записывают в виде
1 2
( , ,..., ), 1,2,..., ,
i
i n
dy
f y y y i n
dt
или в векторной форме
( )
y f y
. Если трактовать независимую
, ,переменную как время то автономные системы отличаются тем
что их поведение не зависит от начала отсчёта переменной t, а
, зависит от начальной точки и времени прошедшего с начала
. , процесса Действительно сделав замену переменных
0
,
получим
( ( )).
dy dy
f y
d dt
-Более подробно с автономными системами можно ознако
[9,миться в 10].
-В общем случае для решения систем имеются методы интег
. -рируемых комбинаций и исключения неизвестных Как указы
, валось ранее любое уравнение порядка n можно свести к
системе n . -уравнений в нормальной форме Возможна и обрат
. ная процедура На этой идее и основан метод исключения
. .неизвестных Разберём его на примерах
П р и м е р 1. Для системы дифференциальных уравнений
4 3 sin ,
cos ,
x y x t
x y t
выраж ая y , из второго у равн ения име ем
cos ,
y x t
sin
y x t
. ,Подставляя в первое уравнение и приводя подобные
получаем уравнение
4 3 0
x x x
. -Это линейное уравнение второ
.го порядка с п остоянны ми коэфф ицие нтами
Корни его характеристического уравнения
2
4 3 0
r r
равны
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы