Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ельцов А.А - 189 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

189
5. Дифференциальные уравнения
выполнялись соотношения
0
( ) , 1,2,...,
j j
k k
y x q k n
. По теореме
-существования и единственности решений такой набор реше
. -ний существует Найденная система решений линейно незави
, сима так как её определитель Вронского в точке x
0
совпадает с
(5.45). .определителем матрицы Теорема доказана
(5.45) .Матрицу можно взять единичную
5.18 ( -Теорема о виде общего решения однородной систе
).мы линейных дифференциальных уравнений Если
y
1
,
y
2
,
...,
y
n
— -линейно независимая совокупность реше
ний однородной системы уравнений
( )
y A x y
-с непре
[рывными на ,] элементами матрицы
( )
A x
и
( ) 0
A x
для всех
[ , ]
x
, то любое решение этой системы есть
линейная комбинация решений y
1
,
y
2
,
...,
y
n
, то есть
1
( ) ( )
n
j
j
j
y x C y x
,
, , и следовательно y
1
,
y
2
,
...,
y
n
— -базис пространства реше
ний системы уравнений
( )
y A x y
.
.Доказательство , -Нам нужно доказать что для любого на
(5.42)бора начальных данных
1 0 2 0 0
( ( ), ( ),..., ( ))
T
n
y x y x y x
0 0 0
1 2
( , ,..., )
T
n
y y y
можно подобрать константы C
j
, j 1, 2,..., n
, так что соответствующее решение y(x) (5.42).удовлетворяет
, Потребовав чтобы решение y(x) (5.42),удовлетворяло условиям
получим систему линейных алгебраических уравнений
0
0 0
1
( ) ( ) , 1,2,..., ,
n
j
j k k
k
j
C y x y x y k n
определитель которой W(x
0
) 0, и -поэтому существует единствен
.ное решение этой системы
, , -Таким образом нами показано что подпространство реше
-ний однородной системы линейных дифференциальных уравне
.ний конечномерно
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы