Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ельцов А.А - 192 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

. . . . А А Ельцов Интегральное исчисление Дифференциальные уравнения
192
, [1] [2]. -линейной алгебре в частности в и Возможны два слу
: 1) ; 2) -чая все собственные числа различны есть кратные соб
. .ственные числа Разберём эти возможности по отдельности
В первом случае имеем
n
решений
1 2
1 1 2 2
, , ..., .
n
r t
r t r t n n
y e y e y e
, -Эта система функций линейно независима так как её опреде
. ,литель Вронского отличен от нуля Действительно
1 2
1 2
1
1 2
1 1 1
1 1 1
1 2
1 2
2 2 2
2 2 2
( ... )
1 2
1 2
1 2
1 2
( )
n
n
n
n
r tr t r t
n
n
r t
r t r t
r r t
n
n
n n n
r t
r t r t
n n n
n
n
e e e
e e e
W x e
e e e
K K
KK
K K K K
K K K K
K
K
.
Так как система векторов
1 2
, ,...,
n
-есть система соб
ственных векторов матрицы A, -отвечающая разным собствен
, [2]. -ным числам то она линейно независима Поэтому мы полу
чили n линейно независимых решений однородной системы
.линейных дифференциальных уравнений
. -Во втором случае возможны два варианта Пусть для соб
ственного числа r
j
кратности k имеется k -линейно независи
мых собственных векторов
1 2
, ,...,
k
j
j j
. Этот вариант ничем
. не отличается от предыдущего случая Во втором варианте для
собственного числа r
j
кратности k имеется меньше чем k -ли
. -нейно независимых собственных векторов Имеется два спосо
ба получения совокупности n линейно независимых решений
.однородной системы линейных дифференциальных уравнений
Первый основан на приведении матрицы к жордановой форме
[9,и изложен в 10]. -Второй называется методом Эйлера и за
, ключается в том что для собственного числа r
j
соответствующие
решения находятся в виде
1
( ) ,
j
r t
k
y P t e
где
1
( )
k
P t
— -век
- , -тор функция каждая координата которой есть полином степе
ни не выше k 1 , -с неопределёнными коэффициентами подле
. (5.46), жащими определению Подставляя это решение в получаем
-соотношения для определения коэффициентов вектор функции
1
( )
k
P t
.
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы