Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ельцов А.А - 196 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

. . . . А А Ельцов Интегральное исчисление Дифференциальные уравнения
196
0
( )
( ) , 1,2,..., .
( )
x
j
j j
x
W x
C x dx C j n
W x
%
Подставляя полученные значения
( )
j
C x
в (5.49), получаем
общее решение
1 1
( ) ( ) ( ) ( )
n n
j j
j j
j j
y x C x y x C y x
%
-системы урав
(5.43).нений
П р и м е .р Для си стемы диффе ренц иаль ных уравнен ий
3
2 ,
3 4 2
t
x x y
y x y e
-соответствующая однородная система уравне
ний имеет вид
2 ,
3 4 .
x x y
y x y
Собственные числа её матрицы
1 2
3 4
равны
1 2
1, 2
r r
. , -Собственные векторы отвечающие этим собствен
, ным числам равны соответственно
(1,1)
T
и
(2,3)
T
. -Тогда фундамен
тальная система решений состоит из функций
( , )
t t T
e e
и
2 2
(2 ,3 )
t t T
e e
.
Решение исходной системы ищем в виде
2
1 2
2
2
( ) ( )
3
t t
t t
x e e
C t C t
y
e e
.
, Подставляя в исходное уравнение получаем систему
2
1 2
3
2
0
2
( ) ( )
2
3
t t
t
t t
e e
C t C t
e
e e
или в координатной форме
2
1 2
2 3
1 2
( ) 2 ( ) 0,
( ) 3 ( ) 2.
t t
t t t
C t e C t e
C t e C t e e
, Решая эту систему находим
2
1
2 4
t t
C e e
,
2
2
2
t t
C e e
.
, Проинтегрировав имеем
2
1 1
( ) 4
t t
C t e e C
%
,
2
2 2
t t
C e e C
%
.
, Таким образом общее решение исходной системы имеет вид
2 3
1 2
2 3
2 2
3 2 1
t t t
t t t
x e e e
C C
y
e e e
% %
.
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы