Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ельцов А.А - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

2 1
П р и м е р 6. Вычислить
2
arctg
x x dx
.
Полагаем
2
arctg ,
U x
dV x dx
. Тогда
2
2 arctg
1
x
dU dx
x
,
2
1
2
и
2
2 2 2
2
1
arctg arctg arctg
2
1
x
x x dx x x x dx
x
. Полагая
во втором слагаемом
arctg ,
U x
2
2
1
x
dV dx
x
, имеем
2
,
1
dx
dU
x
2 2
2 2
1 1
arctg
1 1
x x
dx dx x x C
x x
, поэтому в качестве V
можно взять
arctg
V x x
, ,и следовательно
2
2 2
arctg
arctg ( arctg ) arctg
1 1
x x x
x dx x x x dx
x x
2 2
1 1
( arctg ) arctg ln 1 arctg .
2 2
x x x x x C
Окончательно
2 2 2 2
1 1
arctg ( 1) arctg arctg ln 1 .
2 2
x x dx x x x x x C
П р и м е р 7. Вычислить
2
ln
xdx
.
Полагаем
2
ln ,
U x dV dx
. Тогда
2 ln
,
x
dU dx V x
x
, -и по
этому
2 2
ln ln 2 ln
x dx x x x dx
. -Применяя ко второму слагаемо
му формулу интегрирования по частям с
ln ,
U x dV dx
, имеем
ln ln ln
xdx x x dx x x x C
. Поэтому
2 2
ln ln
x dx x x
2 ln 2
x x x C
.
П р и м е р 8. Вычислить
2
ln
x x dx
.
Полагаем
2
ln ,
U x dV x dx
. Тогда
2
2ln 1
,
2
x
dU dx V x
x
, и
поэтому
2 2 2
1
ln ln ln
2
x x dx x x x x dx

. Применяя ко второму
слагаемому формулу интегрирования по частям с
ln
U x
,
dV x dx
,
имеем
2 2 2
1 1 1 1
ln ln ln
2 2 2 4
x x dx x x xdx x x x C
. Поэтому
1. Неопределенный интервал
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы