Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ельцов А.А - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

4 5
2. Опр еделенный интервал
10. ( ). Вторая теорема о среднем Если f(x) непрерывна
[на a,b], то существу ет точка c [из a,b] , та ка я чт о
( ) ( )( ).
b
a
f x dx f c b a
, Действительно так как f(x) [непрерывна на a,b], -то по тео
реме о промежуточных значениях существует точка c [из a,b]
, такая чт о ( )f c
, 9 .что в силу свойства влечёт требуемое
Выясним условия интегрируемости функции f(x).
Пуст ь
0 1
, ,...,
n
a x x x b
— ка - -кое нибудь разбиение отрез
[ка a,b]. Положим
1
[ , ]
inf ( )
i
x x x
m f x
,
1
[ , ]
sup ( )
i
x x x
M f x
, infгде X
— , точная нижняя грань а sup X — -точная верхняя грань мно
жества X. , Заметим что m
i
— , наименьшее а M
i
— наибольшее
значения функции f(x) [на отрезке x
i
,x
i1
], и если функция f(x)
, непрерывна то по второй теореме Вейерштрасса наименьшее и
, наибольшее значения достигаются и вместо inf supи можно
min max. написать и Суммы
1
0
n
n i i
i
s m x
и
1
0
n
n i i
i
S M x
. , называются нижней и верхней суммами Дарбу Заметим что
[для любого разбиения отрезка a,b] -и любой интегральной сум
мы
n
, , -построенной с использованием этого разбиения выпол
няется неравенств о
n n n
s S
.
.Отметим некоторые свойства сумм Дарбу
2.1Теорема При добавлении числа точек разбиения
, -нижняя сумма Дарбу не уменьшается а верхняя не уве
.личивается
Доказательство. , Достаточно доказать теорему в случае когда
добавлена всего лишь одна точка
1
[ , ]
i i i
y x x
. -Тогда в ниж
ней сумме Дарбу вместо слагаемого
i i
m x
появится сумма
1 2
1
( ) ( )
i i i i i i
m y x m x y
, в которой
1
[ , ]
inf ( )
i
x x y
m f x
,
2
i
m
1
[ , ]
inf ( )
x y x
f x
. Так как
1 2
,
i i i i
m m m m
( -при уменьшении про
-межутка наименьшее значение функции может только увели
), читься то
1 2
1 1
( ) ( ) ( ) ( )
i i i i i i i i i i i i i i
m y x m x y m y x m x y m x
.
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы