Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ельцов А.А - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

4 7
2. Опр еделенный интервал
, Далее по определению точной верхней грани для выбранного
0 существует интегральная сумма
n
, такая что
n n
s
.
Поэтому
2
n
s I
д [ля любого разбиения отрезка a,b], для
которого
1
max
i
i n
x
. , Последнее означает что
*
lim
n
n
I s I
.
, Аналогично показывается что и для верхних сумм Дарбу
*
lim
n
n
I S I
. .Необходимость доказана
.Достаточность Пусть
*
*
I I
. О -бозначим их общее зна
чение через I. Так как по доказанному ранее
lim
n
n
I s
lim
n
n
S

и
n n n
s S
д ля любого
n
, то по теореме о зажатой
[3] функции предел интегральных сумм
lim
n
n
существует и
равен I. .Теорема доказана
-С помощью только что доказанной теоремы можно занять
, .ся выделением множества функций интегрируемых по Риману
2.3.Теорема [Всякая непрерывная на отрезке a,b] -функ
ция f(x) .интегрируема по Риману на этом отрезке
.Доказательство Пусть функция f(x) -непрерывна на отрез
[ке a,b] и
i
,
i
— точки наименьшего и наибольшего значений
[этой функции на каждом из отрезков x
i
,x
i1
], -которые дости
. гаются согласно второй теореме Вейерштрасса Так как f(x)
[непрерывна на отрезке a,b], [3,то согласно теореме Римана 4, 5]
, она равномерно непрерывна то есть для любого 0 существует
0 , такое что для всех x, y, удовлетворяющих условию
x y
, выполнено неравенство
( ) ( )f x f y
. Пусть теперь
разбиение отрезка [a,b] , таково что
1
1
max
i i
i n
x x
. ,Тогда
,исходя из вышесказанного
( ) ( )
i i
f f для любого
1,2,...,
i n
( , знак модуля опущен так как разность
( ) ( )
i i
f f
). неотрицательна Поэтому
1 1
( ) ( ( ) ( ))
n n
n n i i i i i i
i i
S s M m x f f x
1 1
( )
n n
i i
i i
x x b a
.
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы