Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ельцов А.А - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

. . . . А А Ельцов Интегральное исчисление Дифференциальные уравнения
4 6
, Так как все остальные слагаемые остались без изменения то
. -монотонное возрастание нижних сумм Дарбу доказано Анало
, гично доказывается что верхняя сумма Дарбу при добавлении
. .числа точек разбиения не увеличивается Теорема доказана
[Самым простым разбиением отрезка a,b] -является разбие
, ние состоящее из точек a и b. Этому разбиению соответствуют
суммы Дарбу
1
( )
s m b a
и
1
( )
S M b a
, где
[ , ]
inf ( )
x a b
m f x
,
[ , ]
sup ( )
x a b
M f x
. 2.1 -Из теоремы следует справедливость нера
венст в
1 1 1 1
... ...
n n n n
s s s S S S
дл -я любых разби
[ений отрезка a, b], и поэтому множество нижних сумм Дарбу
ограничено сверху и как ограниченное сверху множество имеет
точную верхнюю грань
*
sup
n
I s
. ,Аналогично доказывается
что множество верхних сумм Дарбу как ограниченное снизу
множество имеет точную нижнюю грань
*
inf
n
n
I S
N
. I
*
и I
*
называются соответственно нижним и верхним интегралами
. , Дарбу Нетрудно показать что
*
lim
n
I s

,
lim
n
I S

. -Действи
, -тельно по определению точной верхней грани для произволь
ной окрестности
*
( )
U I
числа I
*
найдётся разбиение отрезка
[a,b] , такое что нижняя сумма Дарбу s
n
, соответствующая этому
, разбиению принадлежит
*
( )
U I
(
*
( )
n
s U I
). -Рассматривая пос
, , -ледовательность разбиений включающих в найденное получа
. .ем наше утверждение Аналогично для верхнего интеграла Дарбу
, Из свойств пределов в неравенствах следует что
*
*
I I
.
2.2.Теорема Функция f(x) интегрируема по Риману тогда
, и только тогда когда I
*
I
*
.
. .Доказательство Необходимость Пусть функция f(x)
. интегрируема по Риману Возьмём произвольное 0 -и зафик
. , -сируем его на процесс дальнейших рассуждений Тогда по ска
, занному выше для этого 0 найдётся 0 , такое что для
[любого разбиения отрезка a,b], для которого
max
i
i n
x
, и
интегральных сумм
n
, -построенных с помощью этого разбие
, ния выполняется неравенств о
n
I
.
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы