Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ельцов А.А - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

. . . . А А Ельцов Интегральное исчисление Дифференциальные уравнения
4 8
, Следовательно
lim( ) 0
n n
n
S s

и по предыдущей теореме
функция f(x) [интегрируема по Риману на отрезке a,b].
.Следствие Функция f(x), [имеющая на отрезке a,b] -конеч
, .ное число точек разрыва первого рода интегрируема по Риману
.Доказательство [Разбиваем отрезок a,b] -на участки непре
. . -рывности На каждом из них функция интегрируема По свой
2 .ству аддитивности интеграла получаем требуемое
2.4.Теорема [Всякая монотонная на отрезке a,b] -функ
ция f(x) .интегрируема по Риману на этом отрезке
.Примем эту теорему без доказательства
-Доказательство существования интеграла Римана для дру
-гих классов функций требует введения новых понятий и до
. полнительных рассмотрений Желающие могут ознакомиться
[4,с этим в 5].
, Примером функции для которой не существует интеграл
, Римана служит функция Дирихле
1, , если рациональное число
( )
0, , если иррациональное число
x
D x
x
, [Действительно если при любом разбиении отрезка a,b] -точ
ки
i
, выберем рациональными то интегральная сумма будет
, равна длине отрезка интегрирования а если точки
i
выберем
, .иррациональными то интегральная сумма будет равна нулю
, -Отсюда следует что предел интегральных сумм зависит от вы
бора точек
i
и поэтому интеграл Римана от функции D (x) не
.существует
2.2. Интеграл как функция верхнего
. предела Ф -ормула Ньютона Лейбница
Рассмотрим функцию
( ) ( )
x
a
x f t dt
. -Эту функцию называ
. -ют интеграл как функция верхнего предела Отметим несколь
.ко свойств этой функции
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы