Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ельцов А.А - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

4 9
2. Опр еделенный интервал
2.5.Теорема Если функция f(x) [интегрируема на a,b],
то (x) [непрерывна на a,b].
Доказательство. 9 По свойству определенного интеграла
( ) теорема о среднем имеем
( ) ( ) ( )
x h
x
x h x f t dt h
, -от
куда при h 0 .получаем требуемое
2.6.Теорема Если f(x) — [непрерывная на a,b] ,функция
то функция (x) [дифференцируема на a,b] и
( ) ( )
x f x
.
Доказательство. 10 По свойству определенного интеграла
( ) вторая теорема о среднем имеем
( ) ( )
x h x
f c
h
где
c — [некоторая точка отрезка x,xh]. В силу непрерывности
функции f получаем
0 0
( ) ( )
( ) lim lim ( ) ( )
h h
x h x
x f c f x
h
.
-Доказанная теорема решает задачу восстановления первооб
разной для непрерывной функции с помощью интеграла как
-функции верхнего предела и даёт конструктивное доказатель
( , -ство то есть доказательство с построением объекта существо
) 1.4. , вание которого утверждается теоремы Более того если
функция f(x) [имеет на отрезке a,b] -конечное число точек раз
, , -рыва первого рода то разбивая отрезок на участки непрерыв
ности функции f(x), , получаем что с помощью интеграла как
функции верхнего предела можно восстановить обобщённую
, -первообразную и в этом случае а заодно и установить справед
1.5.ливость теоремы
,Таким образом (x) — одна из первообразных функции
f(x), , следовательно
( ) ( ) ,
x F x C
где F(x) — -другая перво
образная f(x). , Далее так как
( ) 0,
a
то
0 ( ) ,
F a C
-следова
, тельно
( )
C F a
и поэтому
( ) ( ) ( ).
x F x F a
Полагая x b,
-получаем формулу Ньютона Лейбница
( ) ( ) ( ) ( ).
b
a
f x dx b F b F a
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы