Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ельцов А.А - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

. . . . А А Ельцов Интегральное исчисление Дифференциальные уравнения
5 2
2.4. Замена переменных в определённом интеграле
-Иногда возникает необходимость перейти в интеграле к но
. .вой переменной Имеет место следующий результат
2.7.Теорема Пусть f(x) [интегрируема на отрезке a,b] и
: [ , ] [ , ]
a b
— ( -дифференцируемое биективное вза
) , , имно однозначное отображение такое что
( ) ;
a
( )
b
. Тогда
b
a
f x dx f t t dt
.
. Доказательство , Докажем теорему в предположении что
функция
( ( )) ( )
f t t
[интегрируема на отрезке ,]. -Это выпол
, , нено например когда функции f(x) и (t) имеют конечное
( - ), число точек разрыва первого рода кусочно непрерывны так
как в этом случае функция
( ( )) ( )
f t t
т - -акже кусочно непре
2.3 . рывна и по следствию из теоремы интегрируема Разобьём
[отрезок ,] на части точками
0 1
, ,...,
n
t t t
. Этому разбиению
[отрезка a,b] [соответствует разбиение отрезка ,] точками
( )
i i
x t
. Так как (t) , дифференцируема то по теореме
[3] Лагранжа о конечных приращениях
1i i i
x x x
( )
i i
t
, где
1
[ , ]
i i i
t t
 
— . некоторая точка Положим
i
1
( ) [ , ]
i i i
x x
. Составим интегральную сумму
1 1
0 0
( ) ( ( )) ( )
n n
i i i i i
i i
f x f t
.
В левой части этого равенства стоит интегральная сумма для
интеграла
( )
b
a
f x dx
, — а справа для интеграла
( ( )) ( )
f t t dt
.
, , -Так как оба интеграла существуют то переходя в этом равен
, -стве к пределу по всевозможным разбиениям получаем спра
.ведливость утверждения теоремы
П р и м е р 1. Вычислить интеграл
4
0
.
1
xdx
x
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы