Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ельцов А.А - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

. . . . А А Ельцов Интегральное исчисление Дифференциальные уравнения
5 6
П р и м е р 1. Расс мот рим
1
dx
x
. Пусть 1. Тогда
1
dx
x
1
1
lim lim ln lim (ln ln 1) .
A
A
A A A
dx
x A
x
 
, -Таким образом рас
смотренный интеграл при 1 . расходится Пусть теперь 1. -Тог
да
1
1 1
1
1,при
lim lim
1
1
1,при
1
A
A
A A
dx dx x
x x

, и мы окончательно получили что рассматриваемый интеграл при 1
расходится и при 1 .сходится
Этот интеграл часто используется в признаке сравнения в
.качестве эталонного
П р и м е р 2. Выясним сходимость интеграла
2
1
2 2
dx
x x
.
Имеем
2 2 2
1 1 1
1
lim lim
2 2 2 2 ( 1) 1
lim arctg( 1) lim (arctg( 1) arctg 0)
2
A A
A A
A
A A
dx dx dx
x x x x x
x A


.
, Следовательно интеграл сходится и его значение равн о
2
.
П р и м е р 3. Выяснить сходимость интеграла
2
2
1 1
exp
x
xe dx x x dx
.
По определению получаем
2 2 2
2 2
2
1 1 1
1
1
lim lim
2
1 1 1 1
lim lim .
2 2 2 2
A A
x x x
A A
A
x A
A A
xe dx xe dx e d x
e e
e e

 
, Следовательно интеграл сходится и его значение равно 0,5 e
–1
.
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы