Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ельцов А.А - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

5 9
2. Опр еделенный интервал
, . щимся если сходятся оба слагаемых Если хотя бы один из
, -этих интегралов расходится то будем считать интеграл расхо
. дящимся В качестве точки a 0.выбирают обычно
П р и м е р 7. Рассмотрим интеграл
2
.
1
xdx
x

-По определению схо
димости этого интеграла получаем
2
1 2
1
2
1
1 2
0
2 2 2
0
0
2 2
0
lim lim
1 1 1
1 1
lim ln( 1) lim ln( 1) .
2 2
A
A A
A
A
A
A A
x dx x dx x dx
x x x
x x
 

 
, -Так как оба слагаемых расходятся то исходный интеграл расхо
. дится Получаемая при этом неопределённость -при разных ско
ростях стремления A
1
к  и A
2
к  .даёт разные результаты
, В частности если
2
1
1
A n
,
2
1
A n
, то
2
1
1 2
0
2 2
0
2
1 1
lim ln( 1) lim ln( 1)
2 2
1 1 1 1
lim(ln 2ln ) lim lim .
2 2 2
A
A
A A
n n n
x x
n
n n
n
n
 

Если
1
1
A n
,
2
2
1
A n
, -то абсолютно аналогично показы
, вается что этот предел равен . Подобрав скорости стремления A
1
к  и A
2
к , можно получить в пределе любое заранее заданное
число от  до .
, -С другой стороны при согласованном стремлении верхнего и ниж
него пределов к можем записать
2
2 2
2 2
1
lim lim ln( 1)
2
1 1
1
lim ln( 1) ln( 1) 0.
2
A
A
A
A A
A
A
xdx xdx
x
x x
A A



.Это дает возможность ввести новое понятие
Определение. , -Говорят что несобственный интеграл перво
го рода
( )
f x dx

сходится в смысле главного значения
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы