Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ельцов А.А - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

. . . . А А Ельцов Интегральное исчисление Дифференциальные уравнения
6 2
2.10.Теорема Если f(x) и g(x) — бесконечно малые при
x , одного порядка малости то есть
( )
lim 0,
( )
x
f x
K
g x

,
то интегралы
( )
a
f x dx
и
( )
a
g x dx
либо оба абсолютно
, .сходятся либо оба абсолютно расходятся
.Доказательство Так как
lim
x
f x
K
g x

, то
( )
lim
( )
x
f x
K
g x

.
Возьмем
0
K
. -По определению предела существу
ет M 0 , такое что для всех x M -выполнено неравен
ство
,
( )
f x
K K
g x
, а следовательно и неравенство
( ) ( ) ( )
g x K f x K g x
. Из последнего неравенства
2.9 .и теоремы получаем утверждение теоремы
.Замечание 2.10 После изучения теоремы может сложиться
, -впечатление что для сходимости несобственного интеграла пер
, , , -вого рода в том числе и абсолютной необходимо чтобы подын
тегральная функция была бесконечно малой при x . , То что
, [15].это не так показывает следующий пример
, -Возьмем функцию график которой состоит из отрезков пря
, мых соединяющих точки
1
,0
2
n
n
,
,1
n
,
1
,0
2
n
n
,
1,2,...
n
. Ее аналитическое выражение имеет вид
1
2 1 2 , , ,
2
1
2 1 2 , , ,
2
1 1
0, , .
2 2
n n
n
n n
n
n n
x n x n n
f x x n x n n
x n n
, Площадь заключенная между графиком этой функции и осью
OX, -равна сумме площадей треугольников с вершинами в точ
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы