Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ельцов А.А - 82 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

. . . . А А Ельцов Интегральное исчисление Дифференциальные уравнения
82
3. КРА ТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
3.1. Определение и свойства
Пусть D R
n
— . некоторое множество Диаметром этого
множества назовём число
,
sup ( , )
x y D
d x y
, где (x,y) — -рассто
яние между точками x и y.
Определение. Пусть функция
1 2
( ) ( , ,..., )
n
f x f x x x
-опре
делена и ограничена в области D R
n
. Разобьем область
D на части поверхностями размерности n 1 ( в R
2
—
, кривыми в R
3
— ), -поверхностями и так далее пронумеру
ем полученные элементарные области D
i
, выберем
внутри каждой из них по точке
i
и составим сумму
1
0
( ) ( ),
n
i
i
f D
где (D
i
) — мера области D
i
( в R
2
–
, площадь в R
3
– ). объём и так далее Предел полученных
, сумм по всевозможным разбиениям если этот предел
, , существует не зависит от способа разбиения способа
выбора точек
i
, , -при условии что максимальный из диа
, -метров элементарных областей стремится к нулю называ
ется кратным интегралом от функции f(x) ( двойным на
, плоскости тройным в R
3
) и так далее и обозначается
( )
D
f x dx
, в общем случае
( , )
D
f x y dx dy
в R
2
и
( , , )
D
f x y z dx dydz
в R
3
, а функция f(x) называется
.интегрируемой по Риману
-Отметим некоторые свойства кратных интегралов при ус
.ловии существования всех используемых ниже интегралов
1. Если область D разбита на две области D
1
, D
2
, так что
D D
1
D
2
и D
1
, D
2
-пересекаются лишь по поверхности разби
, ения то
1 2
( ) ( ) ( )
D D D
f x dx f x dx f x dx
.
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы