Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ельцов А.А - 84 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

. . . . А А Ельцов Интегральное исчисление Дифференциальные уравнения
84
Определения ограниченного и замкнутого множеств можно
[3,найти в
5,
8]. -Любознательным читателям предлагается до
3.1, 3.2, 3.3 казать теоремы самостоятельно или посмотреть их
[5,доказательства в
8,
15].
3.2. Вычисление кратных интегралов
3.2.1. Вычисление двойных интегралов
-Рассмотрим вначале самый простой случай прямоуголь
ной области
[ , ] [ , ]
D a b c d
. Пр , едположим что для всякого
[ , ]
x a b
существует интеграл
( , )
d
c
f x y dy
. Разобьём отрезки
[a,b] [и c,d] на части точк ами
0 1
n
a x x x b
0 1
... .
m
c y y y d
Положим
, 1 1
[ , ] [ , ]
i j i i j j
D x x y y
,
,
,
( , )
min ( , )
i j
i j
x y D
m f x y
,
,
,
( , )
max ( , )
i j
i j
x y D
M f x y
. Выберем на каждом
из отрезков [x
i
,x
i1
],
1,2,..., ,
i n
по точке
i
. При любых
1,2,..., ; 1,2,...,
i n j m
и
1
[ , ]
j j
y y y
с -праведливо нера
венство
, ,
( , ) .
i j i i j
m f y M
Интегрируя это неравенство по y [на отрезке y
j
,y
j1
], имеем
1
, ,
( ) ( , ) .
j
j
y
i j j j i i i j j
y
m y I f y dy M y
Умножая последнее неравенство на x
i
, -и суммируя полу
чаем
1
1 1 1 1
,
0 0 0 0
1 1
,
0 0
( , )
.
j
j
y
n m n m
i j j i i i
i j i j
y
n m
i j j i
i j
m y x f y dy x
M y x
(3.1)
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы