Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ельцов А.А - 85 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

85
3. Кратные интегралы
, (3.1) -Заметим что в левой и правой частях неравенства сто
-ят соответственно нижняя и верхняя суммы Дарбу для интег
рала
( , )
D
f x y dx dy
, , которые могут быть введены так же как и
. , для определённого интеграла В случае когда функция
f(x,y) непрерывна в области D, -каждая из сумм Дарбу совпада
. ет с одной из интегральных сумм Так как
1
1
0
( , ) ( , )
j
j
y
d
m
i i i
j
y c
f y dy x f y dy
,
, (3.1) , , то переходя в неравенстве к пределу имеем в случае
интегрируемости функции f(x,y),
( , ) ( , ) ( , ) .
b d
D a c D
f x y dx dy f x y dy dx f x y dx dy
Последнее неравенство эквивалентно соотношению
( , ) ( , ) .
b d
D a c
, Аналогично если существует
( , )
b
a
f x y dx
, то
( , ) ( , ) .
d b
D c a
Обычно вместо ( , )
b d
a c
f x y dy dx
пишут
( , ) .
b d
a c
dx f x y dy
Пусть теперь D — -криволинейная тра
, пеция ограниченная линиями
,
x a
1 2
, ( ), ( )
x b y y x y y x
, и при этом
выполнено неравенство
1 2
( ) ( )
y x y x
.
Заключим эту область в прямоугольник
1
[ , ] [ , ]
D a b c d
, где
1 2
[ , ] [ , ]
min ( ), max ( )
x a b x a b
c y x d y x
.
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы