Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ельцов А.А - 87 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

87
3. Кратные интегралы
П р и м е р 1. Пусть область D — -внутренность треугольника с вер
шинами A(3,2), B(4,4), C(4,1). Вычислить интеграл
( 2 )
D
x y dx dy

.
(3.3) Перейдём к повторному интегралу типа и
. расставим пределы интегрирования в нём Найдём
уравнения прямых AB, BC, AC. -Записывая уравне
, , ние прямой проходящей через две точки получаем
уравнение прямой AB
3 2
4 3 4 2
x y
, или что то же
само , е
y x
. Аналогично для прямой AC:
3 2
4 3 1 2
x y
или
5
y x
. Уравнение прямой BC имеет вид x 1.
, Таким образом область может быть задана неравенствами
3 4
x
,
5 2 4
x y x
. Поэтому
4 2 4 4
2 4
2
5
3 5 3
4
2 2
3
4
4
2 3 2
3
3
( 2 ) ( 2 )
(2 4) (2 4) ( 5) ( 5)
15
(6 15 9) 2 9 12,5.
2
x
x
x
D x
x y dx dy dx x y dy xy y dx
x x x x x x dx
x x dx x x x

(3.4) Для перехода к интегралу типа требуется разбить область на
. , -две Мы подобное проделаем в следующем примере а читателю пред
.лагаем в данном примере сделать это самостоятельно
П р и м е р 2. Пусть область D -задана неравен
ствами
1,
y x
0, 0
y x x
. В двойном
интеграле
( , )
D
f x y dxdy
перейти к повторным
.и расставить пределы интегрирования
Перейдем вначале к повторному интегралу
(3.3). типа Тогда
1
0; 0,5; ( ) ;
a b y x x
2
( ) 1
y x x
. Поэтому
0,5
1
0
( , ) ( , ) .
x
D x
f x y dx dy dx f x y dy

(3.4) Для перехода к интегралу типа требуется разбить область на
: две D
1
c границами
1
1 1 1
0; 0,5; ( ) 0;
c d x y
1
2
( )
x y y
и D
2
-с грани
цами
2
2 2 1
0,5; 1; ( ) 0;
c d x y
2
2
( ) 1
x y y
. Поэтому
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы