Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ельцов А.А - 94 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

. . . . А А Ельцов Интегральное исчисление Дифференциальные уравнения
94
3.3. Замена переменных в кратных интегралах
3.3.1. Криволинейные системы координат
, , Положение точки на прямой на плоскости в R
3
и в R
n
. , можно определить различными способами В частности это
, . можно сделать задав её декартовы координаты Иногда же
-бывает удобно фиксировать положение точки при помощи дру
, , . -гих величин например связанных с решаемой задачей Выяс
.нением этих вопросов для общего случая мы и займёмся
Пусть
1
,
n
D D R
— , области
1
:
r D D
— отображение
1 1 2
2 1 2
1 2
1 2
( , ,..., )
( , ,..., )
( ) ( , ,..., )
.....................
( , ,..., )
n
n
n
n n
x u u u
x u u u
x r u r u u u
x u u u
.
Если r — ( ) ,биективное взаимно однозначное отображение
, -то будем говорить что задана криволинейная система коорди
, нат так как в этом случае положение точки x D однозначно
определяется точкой u D
1
. -Если вектор функция r -диффе
, -ренцируема то криволинейную систему координат будем на
. , , зывать регулярной Заметим что в этом случае по теореме о
[1], , -производной обратной функции обратное отображение осу
-ществляемое вектор функцией r
–1
, .дифференцируемо
- Система вектор функций
1 2
( ) ( , ,..., )
x r u r u u u
п ри
const
l
u , l 1, 2, ..., n, , образует как и в случае декартовых
, . координат систему координатных поверхностей Пересечения
-координатных поверхностей образуют координатные поверхно
. , сти меньшей размерности В частности при n 2 отображение
r r(u,v) -задаёт криволинейную систему координат на плоско
, сти а кривые
2 2 2
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
T
x y r u C x u C y u C
i j
,
1 1 1
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
T
x y r C v x C v y C v
i j
. образуют координатные линии Аналогично при n = 3 -отобра
жение r = r(u,v,w) задаёт криволинейную систему координат в
пространстве R
3
, поверхности
Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

Страницы