Составители:
Рубрика:
может значительно отличаться от оцениваемого параметра.
Следовательно, дисперсия должна быть мала.
Определение. Статистическая оценка называется эффек-
тивной, если она при заданном объеме выборки 𝑛 имеет наи-
меньшую возможную дисперсию.
К статистическим оценкам предъявляется еще требование
состоятельности.
Определение. Оценка называется состоятельной, если при
𝑛 → ∞ стремится по вероятности к оцениваемому параметру.
Заметим, что несмещённая оценки будет состоятельной, если
при 𝑛 → ∞ ее дисперсия стремится к 0.
Несмещённость, эффективность и состоятельность
выборочного среднего ¯𝑥 .
Будем рассматривать ¯𝑥 как случайную величину
¯
𝑋, а вариан-
ты 𝑥
1
, 𝑥
2
, ..., 𝑥
𝑛
, составляющие выборку, – как значения независи-
мых, одинаково распределенных случайных величин 𝜉
1
, 𝜉
2
, ..., 𝜉
𝑛
,
имеющих математическое ожидание 𝑀[𝜉
𝑖
] = 𝑎 и дисперсию
𝐷[𝜉
𝑖
] = 𝜎
2
. Тогда,
¯
𝑋 =
1
𝑛
𝑛
∑
𝑖=1
𝜉
𝑖
. (32)
Несмещённость ¯𝑥. Из свойств математического ожидания
[1]
𝑀[
¯
𝑋] = 𝑀
[
1
𝑛
𝑛
∑
𝑖=1
𝜉
𝑖
]
=
1
𝑛
𝑀
[
𝑛
∑
𝑖=1
𝜉
𝑖
]
=
1
𝑛
𝑛
∑
𝑖=1
𝑀 [𝜉
𝑖
] =
=
1
𝑛
𝑛
∑
𝑖=1
𝑎 =
𝑛𝑎
𝑛
= 𝑎 ,
что и требовалось доказать.
32
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 32
- 33
- 34
- 35
- 36
- …
- следующая ›
- последняя »
